Resolver {l}{-x-2y=9}{3x-2y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = 9 } \\ { 3 x - 2 y = 21 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=-6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-x-2y=9,3x-2y=21$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-x-2y=9$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$-x=2y+9$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-\left(2y+9\right)$$

Multiplica -1 por 2y+9.

$$x=-2y-9$$

Substitúe x por -2y-9 na outra ecuación, 3x-2y=21.

$$3\left(-2y-9\right)-2y=21$$

Multiplica 3 por -2y-9.

$$-6y-27-2y=21$$

Suma -6y a -2y.

$$-8y-27=21$$

Suma 27 en ambos lados da ecuación.

$$-8y=48$$

Divide ambos lados entre -8.

$$y=-6$$

Substitúe y por -6 en x=-2y-9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\left(-6\right)-9$$

Multiplica -2 por -6.

$$x=12-9$$

Suma -9 a 12.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=-6$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-x-2y=9,3x-2y=21$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{1}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 9+\frac{1}{4}\times 21\\-\frac{3}{8}\times 9-\frac{1}{8}\times 21\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=-6$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-x-2y=9,3x-2y=21$$

Resta 3x-2y=21 de -x-2y=9 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-x-3x-2y+2y=9-21$$

Suma -2y a 2y. -2y e 2y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-x-3x=9-21$$

Suma -x a -3x.

$$-4x=9-21$$

Suma 9 a -21.

$$-4x=-12$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=3$$

Substitúe x por 3 en 3x-2y=21. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$3\times 3-2y=21$$

Multiplica 3 por 3.

$$9-2y=21$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$-2y=12$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=-6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=-6$$