Resolver {l}{-x-2y=-7}{2x+2y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = - 7 } \\ { 2 x + 2 y = 16 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=9$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-x-2y=-7,2x+2y=16$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-x-2y=-7$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$-x=2y-7$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-\left(2y-7\right)$$

Multiplica -1 por 2y-7.

$$x=-2y+7$$

Substitúe x por -2y+7 na outra ecuación, 2x+2y=16.

$$2\left(-2y+7\right)+2y=16$$

Multiplica 2 por -2y+7.

$$-4y+14+2y=16$$

Suma -4y a 2y.

$$-2y+14=16$$

Resta 14 en ambos lados da ecuación.

$$-2y=2$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=-2y+7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\left(-1\right)+7$$

Multiplica -2 por -1.

$$x=2+7$$

Suma 7 a 2.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-x-2y=-7,2x+2y=16$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{-2-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{-2-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7+16\\-\left(-7\right)-\frac{1}{2}\times 16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=9,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-x-2y=-7,2x+2y=16$$

Para que -x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por -1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-2\right)y=2\left(-7\right),-2x-2y=-16$$

Simplifica.

$$-2x-4y=-14,-2x-2y=-16$$

Resta -2x-2y=-16 de -2x-4y=-14 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x-4y+2y=-14+16$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4y+2y=-14+16$$

Suma -4y a 2y.

$$-2y=-14+16$$

Suma -14 a 16.

$$-2y=2$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en 2x+2y=16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+2\left(-1\right)=16$$

Multiplica 2 por -1.

$$2x-2=16$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$2x=18$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=-1$$