Resolver {l}{-x-2y=-10}{4x+3y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = - 10 } \\ { 4 x + 3 y = - 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-10$$

$$y=10$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-x-2y=-10,4x+3y=-10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-x-2y=-10$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$-x=2y-10$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-\left(2y-10\right)$$

Multiplica -1 por -10+2y.

$$x=-2y+10$$

Substitúe x por -2y+10 na outra ecuación, 4x+3y=-10.

$$4\left(-2y+10\right)+3y=-10$$

Multiplica 4 por -2y+10.

$$-8y+40+3y=-10$$

Suma -8y a 3y.

$$-5y+40=-10$$

Resta 40 en ambos lados da ecuación.

$$-5y=-50$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=10$$

Substitúe y por 10 en x=-2y+10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\times 10+10$$

Multiplica -2 por 10.

$$x=-20+10$$

Suma 10 a -20.

$$x=-10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-10,y=10$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-x-2y=-10,4x+3y=-10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-1&-2\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{-3-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{-3-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{1}{-3-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\left(-10\right)+\frac{2}{5}\left(-10\right)\\-\frac{4}{5}\left(-10\right)-\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-10,y=10$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-x-2y=-10,4x+3y=-10$$

Para que -x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por -1.

$$4\left(-1\right)x+4\left(-2\right)y=4\left(-10\right),-4x-3y=-\left(-10\right)$$

Simplifica.

$$-4x-8y=-40,-4x-3y=10$$

Resta -4x-3y=10 de -4x-8y=-40 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-4x+4x-8y+3y=-40-10$$

Suma -4x a 4x. -4x e 4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-8y+3y=-40-10$$

Suma -8y a 3y.

$$-5y=-40-10$$

Suma -40 a -10.

$$-5y=-50$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=10$$

Substitúe y por 10 en 4x+3y=-10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+3\times 10=-10$$

Multiplica 3 por 10.

$$4x+30=-10$$

Resta 30 en ambos lados da ecuación.

$$4x=-40$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=-10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-10,y=10$$