Resolver {l}{-x-2y=-10}{-7x-8y=-16}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = - 10 } \\ { - 7 x - 8 y = - 16 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-8$$

$$y=9$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-x-2y=-10,-7x-8y=-16$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-x-2y=-10$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$-x=2y-10$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-\left(2y-10\right)$$

Multiplica -1 por -10+2y.

$$x=-2y+10$$

Substitúe x por -2y+10 na outra ecuación, -7x-8y=-16.

$$-7\left(-2y+10\right)-8y=-16$$

Multiplica -7 por -2y+10.

$$14y-70-8y=-16$$

Suma 14y a -8y.

$$6y-70=-16$$

Suma 70 en ambos lados da ecuación.

$$6y=54$$

Divide ambos lados entre 6.

$$y=9$$

Substitúe y por 9 en x=-2y+10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\times 9+10$$

Multiplica -2 por 9.

$$x=-18+10$$

Suma 10 a -18.

$$x=-8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-8,y=9$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-x-2y=-10,-7x-8y=-16$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-\left(-8\right)-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{-2}{-\left(-8\right)-\left(-2\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{-\left(-8\right)-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{1}{-\left(-8\right)-\left(-2\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{7}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\left(-10\right)-\frac{1}{3}\left(-16\right)\\-\frac{7}{6}\left(-10\right)+\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\9\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-8,y=9$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-x-2y=-10,-7x-8y=-16$$

Para que -x e -7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -7 e todos os termos a cada lado da segunda por -1.

$$-7\left(-1\right)x-7\left(-2\right)y=-7\left(-10\right),-\left(-7\right)x-\left(-8y\right)=-\left(-16\right)$$

Simplifica.

$$7x+14y=70,7x+8y=16$$

Resta 7x+8y=16 de 7x+14y=70 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$7x-7x+14y-8y=70-16$$

Suma 7x a -7x. 7x e -7x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$14y-8y=70-16$$

Suma 14y a -8y.

$$6y=70-16$$

Suma 70 a -16.

$$6y=54$$

Divide ambos lados entre 6.

$$y=9$$

Substitúe y por 9 en -7x-8y=-16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-7x-8\times 9=-16$$

Multiplica -8 por 9.

$$-7x-72=-16$$

Suma 72 en ambos lados da ecuación.

$$-7x=56$$

Divide ambos lados entre -7.

$$x=-8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-8,y=9$$