Resolver {l}{-x+y=3}{2x+2y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + y = 3 } \\ { 2 x + 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-x+y=3,2x+2y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-x+y=3$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$-x=-y+3$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-\left(-y+3\right)$$

Multiplica -1 por -y+3.

$$x=y-3$$

Substitúe x por y-3 na outra ecuación, 2x+2y=2.

$$2\left(y-3\right)+2y=2$$

Multiplica 2 por y-3.

$$2y-6+2y=2$$

Suma 2y a 2y.

$$4y-6=2$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$4y=8$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=y-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2-3$$

Suma -3 a 2.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-x+y=3,2x+2y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-2}&-\frac{1}{-2-2}\\-\frac{2}{-2-2}&-\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-x+y=3,2x+2y=2$$

Para que -x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por -1.

$$2\left(-1\right)x+2y=2\times 3,-2x-2y=-2$$

Simplifica.

$$-2x+2y=6,-2x-2y=-2$$

Resta -2x-2y=-2 de -2x+2y=6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x+2y+2y=6+2$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y+2y=6+2$$

Suma 2y a 2y.

$$4y=6+2$$

Suma 6 a 2.

$$4y=8$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 2x+2y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+2\times 2=2$$

Multiplica 2 por 2.

$$2x+4=2$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$2x=-2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=2$$