Resolver {l}{-x+y=-9}{2x+2y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + y = - 9 } \\ { 2 x + 2 y = 14 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=8$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-x+y=-9,2x+2y=14$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-x+y=-9$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$-x=-y-9$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-\left(-y-9\right)$$

Multiplica -1 por -y-9.

$$x=y+9$$

Substitúe x por y+9 na outra ecuación, 2x+2y=14.

$$2\left(y+9\right)+2y=14$$

Multiplica 2 por y+9.

$$2y+18+2y=14$$

Suma 2y a 2y.

$$4y+18=14$$

Resta 18 en ambos lados da ecuación.

$$4y=-4$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=y+9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-1+9$$

Suma 9 a -1.

$$x=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=8,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-x+y=-9,2x+2y=14$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\14\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\14\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-2}&-\frac{1}{-2-2}\\-\frac{2}{-2-2}&-\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{4}\times 14\\\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=8,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-x+y=-9,2x+2y=14$$

Para que -x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por -1.

$$2\left(-1\right)x+2y=2\left(-9\right),-2x-2y=-14$$

Simplifica.

$$-2x+2y=-18,-2x-2y=-14$$

Resta -2x-2y=-14 de -2x+2y=-18 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x+2y+2y=-18+14$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y+2y=-18+14$$

Suma 2y a 2y.

$$4y=-18+14$$

Suma -18 a 14.

$$4y=-4$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en 2x+2y=14. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+2\left(-1\right)=14$$

Multiplica 2 por -1.

$$2x-2=14$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$2x=16$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=8,y=-1$$