Resolver {l}{-x+8y=18}{x-6y=-16}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + 8 y = 18 } \\ { x - 6 y = - 16 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-10$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-x+8y=18,x-6y=-16$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-x+8y=18$$

Resta 8y en ambos lados da ecuación.

$$-x=-8y+18$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-\left(-8y+18\right)$$

Multiplica -1 por -8y+18.

$$x=8y-18$$

Substitúe x por 8y-18 na outra ecuación, x-6y=-16.

$$8y-18-6y=-16$$

Suma 8y a -6y.

$$2y-18=-16$$

Suma 18 en ambos lados da ecuación.

$$2y=2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=8y-18. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=8-18$$

Suma -18 a 8.

$$x=-10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-10,y=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-x+8y=18,x-6y=-16$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-1&8\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-1&8\\1&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&8\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&8\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&8\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-16\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&8\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&8\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-16\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-\left(-6\right)-8}&-\frac{8}{-\left(-6\right)-8}\\-\frac{1}{-\left(-6\right)-8}&-\frac{1}{-\left(-6\right)-8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&4\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 18+4\left(-16\right)\\\frac{1}{2}\times 18+\frac{1}{2}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-10,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-x+8y=18,x-6y=-16$$

Para que -x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por -1.

$$-x+8y=18,-x-\left(-6y\right)=-\left(-16\right)$$

Simplifica.

$$-x+8y=18,-x+6y=16$$

Resta -x+6y=16 de -x+8y=18 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-x+x+8y-6y=18-16$$

Suma -x a x. -x e x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$8y-6y=18-16$$

Suma 8y a -6y.

$$2y=18-16$$

Suma 18 a -16.

$$2y=2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x-6y=-16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-6=-16$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$x=-10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-10,y=1$$