Resolver {l}{-x+6y=20}{-x+3y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + 6 y = 20 } \\ { - x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-x+6y=20,-x+3y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-x+6y=20$$

Resta 6y en ambos lados da ecuación.

$$-x=-6y+20$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-\left(-6y+20\right)$$

Multiplica -1 por -6y+20.

$$x=6y-20$$

Substitúe x por 6y-20 na outra ecuación, -x+3y=8.

$$-\left(6y-20\right)+3y=8$$

Multiplica -1 por 6y-20.

$$-6y+20+3y=8$$

Suma -6y a 3y.

$$-3y+20=8$$

Resta 20 en ambos lados da ecuación.

$$-3y=-12$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x=6y-20. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=6\times 4-20$$

Multiplica 6 por 4.

$$x=24-20$$

Suma -20 a 24.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-x+6y=20,-x+3y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3-6\left(-1\right)}&-\frac{6}{-3-6\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-3-6\left(-1\right)}&-\frac{1}{-3-6\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20-2\times 8\\\frac{1}{3}\times 20-\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-x+6y=20,-x+3y=8$$

Resta -x+3y=8 de -x+6y=20 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-x+x+6y-3y=20-8$$

Suma -x a x. -x e x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y-3y=20-8$$

Suma 6y a -3y.

$$3y=20-8$$

Suma 20 a -8.

$$3y=12$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en -x+3y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x+3\times 4=8$$

Multiplica 3 por 4.

$$-x+12=8$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$-x=-4$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=4$$