Resolver {l}{-x+5y=-1}{+x+2y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + 5 y = - 1 } \\ { + x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{27}{7} = 3\frac{6}{7} \approx 3.857142857$$

$$y=\frac{4}{7}\approx 0.571428571$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-x+5y=-1,x+2y=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-x+5y=-1$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$-x=-5y-1$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-\left(-5y-1\right)$$

Multiplica -1 por -5y-1.

$$x=5y+1$$

Substitúe x por 5y+1 na outra ecuación, x+2y=5.

$$5y+1+2y=5$$

Suma 5y a 2y.

$$7y+1=5$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$7y=4$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=\frac{4}{7}$$

Substitúe y por \frac{4}{7} en x=5y+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=5\times \frac{4}{7}+1$$

Multiplica 5 por \frac{4}{7}.

$$x=\frac{20}{7}+1$$

Suma 1 a \frac{20}{7}.

$$x=\frac{27}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{27}{7},y=\frac{4}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-x+5y=-1,x+2y=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-5}&-\frac{5}{-2-5}\\-\frac{1}{-2-5}&-\frac{1}{-2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\left(-1\right)+\frac{5}{7}\times 5\\\frac{1}{7}\left(-1\right)+\frac{1}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{7}\\\frac{4}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{27}{7},y=\frac{4}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-x+5y=-1,x+2y=5$$

Para que -x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por -1.

$$-x+5y=-1,-x-2y=-5$$

Resta -x-2y=-5 de -x+5y=-1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-x+x+5y+2y=-1+5$$

Suma -x a x. -x e x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5y+2y=-1+5$$

Suma 5y a 2y.

$$7y=-1+5$$

Suma -1 a 5.

$$7y=4$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=\frac{4}{7}$$

Substitúe y por \frac{4}{7} en x+2y=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+2\times \frac{4}{7}=5$$

Multiplica 2 por \frac{4}{7}.

$$x+\frac{8}{7}=5$$

Resta \frac{8}{7} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{27}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{27}{7},y=\frac{4}{7}$$