Resolver {l}{-x+2y=17}{2x+2y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + 2 y = 17 } \\ { 2 x + 2 y = - 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-9$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-x+2y=17,2x+2y=-10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-x+2y=17$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$-x=-2y+17$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-\left(-2y+17\right)$$

Multiplica -1 por -2y+17.

$$x=2y-17$$

Substitúe x por 2y-17 na outra ecuación, 2x+2y=-10.

$$2\left(2y-17\right)+2y=-10$$

Multiplica 2 por 2y-17.

$$4y-34+2y=-10$$

Suma 4y a 2y.

$$6y-34=-10$$

Suma 34 en ambos lados da ecuación.

$$6y=24$$

Divide ambos lados entre 6.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x=2y-17. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2\times 4-17$$

Multiplica 2 por 4.

$$x=8-17$$

Suma -17 a 8.

$$x=-9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-9,y=4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-x+2y=17,2x+2y=-10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-2\times 2}&-\frac{2}{-2-2\times 2}\\-\frac{2}{-2-2\times 2}&-\frac{1}{-2-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 17+\frac{1}{3}\left(-10\right)\\\frac{1}{3}\times 17+\frac{1}{6}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-9,y=4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-x+2y=17,2x+2y=-10$$

Resta 2x+2y=-10 de -x+2y=17 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-x-2x+2y-2y=17+10$$

Suma 2y a -2y. 2y e -2y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-x-2x=17+10$$

Suma -x a -2x.

$$-3x=17+10$$

Suma 17 a 10.

$$-3x=27$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=-9$$

Substitúe x por -9 en 2x+2y=-10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$2\left(-9\right)+2y=-10$$

Multiplica 2 por -9.

$$-18+2y=-10$$

Suma 18 en ambos lados da ecuación.

$$2y=8$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-9,y=4$$