Resolver {l}{-x+3/4y=7}{4x-y=-16}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + \frac { 3 } { 4 } y = 7 } \\ { 4 x - y = - 16 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y=6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-x+\frac{3}{4}y=7,4x-y=-16$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-x+\frac{3}{4}y=7$$

Resta \frac{3y}{4} en ambos lados da ecuación.

$$-x=-\frac{3}{4}y+7$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-\left(-\frac{3}{4}y+7\right)$$

Multiplica -1 por -\frac{3y}{4}+7.

$$x=\frac{3}{4}y-7$$

Substitúe x por \frac{3y}{4}-7 na outra ecuación, 4x-y=-16.

$$4\left(\frac{3}{4}y-7\right)-y=-16$$

Multiplica 4 por \frac{3y}{4}-7.

$$3y-28-y=-16$$

Suma 3y a -y.

$$2y-28=-16$$

Suma 28 en ambos lados da ecuación.

$$2y=12$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en x=\frac{3}{4}y-7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{4}\times 6-7$$

Multiplica \frac{3}{4} por 6.

$$x=\frac{9}{2}-7$$

Suma -7 a \frac{9}{2}.

$$x=-\frac{5}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{5}{2},y=6$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-x+\frac{3}{4}y=7,4x-y=-16$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}&-\frac{\frac{3}{4}}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}\\-\frac{4}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}&-\frac{1}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{8}\\2&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{8}\left(-16\right)\\2\times 7+\frac{1}{2}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{5}{2},y=6$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-x+\frac{3}{4}y=7,4x-y=-16$$

Para que -x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por -1.

$$4\left(-1\right)x+4\times \frac{3}{4}y=4\times 7,-4x-\left(-y\right)=-\left(-16\right)$$

Simplifica.

$$-4x+3y=28,-4x+y=16$$

Resta -4x+y=16 de -4x+3y=28 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-4x+4x+3y-y=28-16$$

Suma -4x a 4x. -4x e 4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y-y=28-16$$

Suma 3y a -y.

$$2y=28-16$$

Suma 28 a -16.

$$2y=12$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en 4x-y=-16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x-6=-16$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$4x=-10$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{5}{2},y=6$$