Resolver {l}{-9x-y=-3}{-8x+2y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - y = - 3 } \\ { - 8 x + 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=-6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-9x-y=-3$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$-9x=y-3$$

Divide ambos lados entre -9.

$$x=-\frac{1}{9}\left(y-3\right)$$

Multiplica -\frac{1}{9} por y-3.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}$$

Substitúe x por -\frac{y}{9}+\frac{1}{3} na outra ecuación, -8x+2y=-20.

$$-8\left(-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}\right)+2y=-20$$

Multiplica -8 por -\frac{y}{9}+\frac{1}{3}.

$$\frac{8}{9}y-\frac{8}{3}+2y=-20$$

Suma \frac{8y}{9} a 2y.

$$\frac{26}{9}y-\frac{8}{3}=-20$$

Suma \frac{8}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{26}{9}y=-\frac{52}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{26}{9}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-6$$

Substitúe y por -6 en x=-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6\right)+\frac{1}{3}$$

Multiplica -\frac{1}{9} por -6.

$$x=\frac{2+1}{3}$$

Suma \frac{1}{3} a \frac{2}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-6$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{-1}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{9}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{1}{26}\\-\frac{4}{13}&\frac{9}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-3\right)-\frac{1}{26}\left(-20\right)\\-\frac{4}{13}\left(-3\right)+\frac{9}{26}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=-6$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

Para que -9x e -8x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -8 e todos os termos a cada lado da segunda por -9.

$$-8\left(-9\right)x-8\left(-1\right)y=-8\left(-3\right),-9\left(-8\right)x-9\times 2y=-9\left(-20\right)$$

Simplifica.

$$72x+8y=24,72x-18y=180$$

Resta 72x-18y=180 de 72x+8y=24 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$72x-72x+8y+18y=24-180$$

Suma 72x a -72x. 72x e -72x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$8y+18y=24-180$$

Suma 8y a 18y.

$$26y=24-180$$

Suma 24 a -180.

$$26y=-156$$

Divide ambos lados entre 26.

$$y=-6$$

Substitúe y por -6 en -8x+2y=-20. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-8x+2\left(-6\right)=-20$$

Multiplica 2 por -6.

$$-8x-12=-20$$

Suma 12 en ambos lados da ecuación.

$$-8x=-8$$

Divide ambos lados entre -8.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-6$$