Resolver {l}{-9x-y=-14}{-x-5y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - y = - 14 } \\ { - x - 5 y = 18 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=-4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-9x-y=-14,-x-5y=18$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-9x-y=-14$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$-9x=y-14$$

Divide ambos lados entre -9.

$$x=-\frac{1}{9}\left(y-14\right)$$

Multiplica -\frac{1}{9} por y-14.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{14}{9}$$

Substitúe x por \frac{-y+14}{9} na outra ecuación, -x-5y=18.

$$-\left(-\frac{1}{9}y+\frac{14}{9}\right)-5y=18$$

Multiplica -1 por \frac{-y+14}{9}.

$$\frac{1}{9}y-\frac{14}{9}-5y=18$$

Suma \frac{y}{9} a -5y.

$$-\frac{44}{9}y-\frac{14}{9}=18$$

Suma \frac{14}{9} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{44}{9}y=\frac{176}{9}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{44}{9}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en x=-\frac{1}{9}y+\frac{14}{9}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-4\right)+\frac{14}{9}$$

Multiplica -\frac{1}{9} por -4.

$$x=\frac{4+14}{9}$$

Suma \frac{14}{9} a \frac{4}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=-4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-9x-y=-14,-x-5y=18$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{9}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{44}&\frac{1}{44}\\\frac{1}{44}&-\frac{9}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{44}\left(-14\right)+\frac{1}{44}\times 18\\\frac{1}{44}\left(-14\right)-\frac{9}{44}\times 18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=-4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-9x-y=-14,-x-5y=18$$

Para que -9x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por -9.

$$-\left(-9\right)x-\left(-y\right)=-\left(-14\right),-9\left(-1\right)x-9\left(-5\right)y=-9\times 18$$

Simplifica.

$$9x+y=14,9x+45y=-162$$

Resta 9x+45y=-162 de 9x+y=14 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$9x-9x+y-45y=14+162$$

Suma 9x a -9x. 9x e -9x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y-45y=14+162$$

Suma y a -45y.

$$-44y=14+162$$

Suma 14 a 162.

$$-44y=176$$

Divide ambos lados entre -44.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en -x-5y=18. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x-5\left(-4\right)=18$$

Multiplica -5 por -4.

$$-x+20=18$$

Resta 20 en ambos lados da ecuación.

$$-x=-2$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=-4$$