Resolver {l}{-9x-6y=6}{3x-6y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - 6 y = 6 } \\ { 3 x - 6 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-2$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-9x-6y=6,3x-6y=-18$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-9x-6y=6$$

Suma 6y en ambos lados da ecuación.

$$-9x=6y+6$$

Divide ambos lados entre -9.

$$x=-\frac{1}{9}\left(6y+6\right)$$

Multiplica -\frac{1}{9} por 6+6y.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{2}{3}$$

Substitúe x por \frac{-2y-2}{3} na outra ecuación, 3x-6y=-18.

$$3\left(-\frac{2}{3}y-\frac{2}{3}\right)-6y=-18$$

Multiplica 3 por \frac{-2y-2}{3}.

$$-2y-2-6y=-18$$

Suma -2y a -6y.

$$-8y-2=-18$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$-8y=-16$$

Divide ambos lados entre -8.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-\frac{2}{3}y-\frac{2}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2-\frac{2}{3}$$

Multiplica -\frac{2}{3} por 2.

$$x=\frac{-4-2}{3}$$

Suma -\frac{2}{3} a -\frac{4}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-9x-6y=6,3x-6y=-18$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{9}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{1}{24}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 6+\frac{1}{12}\left(-18\right)\\-\frac{1}{24}\times 6-\frac{1}{8}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-9x-6y=6,3x-6y=-18$$

Resta 3x-6y=-18 de -9x-6y=6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-9x-3x-6y+6y=6+18$$

Suma -6y a 6y. -6y e 6y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-9x-3x=6+18$$

Suma -9x a -3x.

$$-12x=6+18$$

Suma 6 a 18.

$$-12x=24$$

Divide ambos lados entre -12.

$$x=-2$$

Substitúe x por -2 en 3x-6y=-18. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$3\left(-2\right)-6y=-18$$

Multiplica 3 por -2.

$$-6-6y=-18$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$-6y=-12$$

Divide ambos lados entre -6.

$$y=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=2$$