Resolver {l}{-9x+6y=13}{cx+8y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x + 6 y = 13 } \\ { c x + 8 y = - 12 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

$$y=-\frac{108-13c}{6\left(c+12\right)}$$

$$c\neq -12$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-9x+6y=13$$

Resta 6y en ambos lados da ecuación.

$$-9x=-6y+13$$

Divide ambos lados entre -9.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6y+13\right)$$

Multiplica -\frac{1}{9} por -6y+13.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}$$

Substitúe x por \frac{2y}{3}-\frac{13}{9} na outra ecuación, cx+8y=-12.

$$c\left(\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}\right)+8y=-12$$

Multiplica c por \frac{2y}{3}-\frac{13}{9}.

$$\frac{2c}{3}y-\frac{13c}{9}+8y=-12$$

Suma \frac{2cy}{3} a 8y.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y-\frac{13c}{9}=-12$$

Suma \frac{13c}{9} en ambos lados da ecuación.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y=\frac{13c}{9}-12$$

Divide ambos lados entre \frac{2c}{3}+8.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Substitúe y por \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)} en x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

Multiplica \frac{2}{3} por \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)}.

$$x=\frac{13c-108}{9\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

Suma -\frac{13}{9} a \frac{-108+13c}{9\left(c+12\right)}.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-9\times 8-6c}&-\frac{6}{-9\times 8-6c}\\-\frac{c}{-9\times 8-6c}&-\frac{9}{-9\times 8-6c}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(c+12\right)}&\frac{1}{c+12}\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}&\frac{3}{2\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{3\left(c+12\right)}\right)\times 13+\frac{1}{c+12}\left(-12\right)\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}\times 13+\frac{3}{2\left(c+12\right)}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{88}{3\left(c+12\right)}\\\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

Para que -9x e cx sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por c e todos os termos a cada lado da segunda por -9.

$$c\left(-9\right)x+c\times 6y=c\times 13,-9cx-9\times 8y=-9\left(-12\right)$$

Simplifica.

$$\left(-9c\right)x+6cy=13c,\left(-9c\right)x-72y=108$$

Resta \left(-9c\right)x-72y=108 de \left(-9c\right)x+6cy=13c mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\left(-9c\right)x+9cx+6cy+72y=13c-108$$

Suma -9cx a 9cx. -9cx e 9cx anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6cy+72y=13c-108$$

Suma 6cy a 72y.

$$\left(6c+72\right)y=13c-108$$

Divide ambos lados entre 72+6c.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Substitúe y por \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)} en cx+8y=-12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$cx+8\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}=-12$$

Multiplica 8 por \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}.

$$cx+\frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)}=-12$$

Resta \frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)} en ambos lados da ecuación.

$$cx=-\frac{88c}{3\left(c+12\right)}$$

Divide ambos lados entre c.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$