Resolver {l}{-8x-6y=-10}{x-y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x - 6 y = - 10 } \\ { x - y = 17 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=8$$

$$y=-9$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-8x-6y=-10,x-y=17$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-8x-6y=-10$$

Suma 6y en ambos lados da ecuación.

$$-8x=6y-10$$

Divide ambos lados entre -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(6y-10\right)$$

Multiplica -\frac{1}{8} por 6y-10.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

Substitúe x por \frac{-3y+5}{4} na outra ecuación, x-y=17.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}-y=17$$

Suma -\frac{3y}{4} a -y.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{5}{4}=17$$

Resta \frac{5}{4} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{7}{4}y=\frac{63}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{7}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-9$$

Substitúe y por -9 en x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-9\right)+\frac{5}{4}$$

Multiplica -\frac{3}{4} por -9.

$$x=\frac{27+5}{4}$$

Suma \frac{5}{4} a \frac{27}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=8,y=-9$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-8x-6y=-10,x-y=17$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}&-\frac{8}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{14}&-\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\left(-10\right)+\frac{3}{7}\times 17\\-\frac{1}{14}\left(-10\right)-\frac{4}{7}\times 17\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-9\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=8,y=-9$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-8x-6y=-10,x-y=17$$

Para que -8x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por -8.

$$-8x-6y=-10,-8x-8\left(-1\right)y=-8\times 17$$

Simplifica.

$$-8x-6y=-10,-8x+8y=-136$$

Resta -8x+8y=-136 de -8x-6y=-10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-8x+8x-6y-8y=-10+136$$

Suma -8x a 8x. -8x e 8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-6y-8y=-10+136$$

Suma -6y a -8y.

$$-14y=-10+136$$

Suma -10 a 136.

$$-14y=126$$

Divide ambos lados entre -14.

$$y=-9$$

Substitúe y por -9 en x-y=17. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-\left(-9\right)=17$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$x=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=8,y=-9$$