Resolver {l}{-8x+8y=-16}{-6x+y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 8 y = - 16 } \\ { - 6 x + y = 18 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-4$$

$$y=-6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-8x+8y=-16,-6x+y=18$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-8x+8y=-16$$

Resta 8y en ambos lados da ecuación.

$$-8x=-8y-16$$

Divide ambos lados entre -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-8y-16\right)$$

Multiplica -\frac{1}{8} por -8y-16.

$$x=y+2$$

Substitúe x por y+2 na outra ecuación, -6x+y=18.

$$-6\left(y+2\right)+y=18$$

Multiplica -6 por y+2.

$$-6y-12+y=18$$

Suma -6y a y.

$$-5y-12=18$$

Suma 12 en ambos lados da ecuación.

$$-5y=30$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=-6$$

Substitúe y por -6 en x=y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-6+2$$

Suma 2 a -6.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=-6$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-8x+8y=-16,-6x+y=18$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-8&8\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-8&8\\-6&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&8\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&8\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&8\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&8\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&8\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-8-8\left(-6\right)}&-\frac{8}{-8-8\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{-8-8\left(-6\right)}&-\frac{8}{-8-8\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{20}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}\left(-16\right)-\frac{1}{5}\times 18\\\frac{3}{20}\left(-16\right)-\frac{1}{5}\times 18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-4,y=-6$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-8x+8y=-16,-6x+y=18$$

Para que -8x e -6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -6 e todos os termos a cada lado da segunda por -8.

$$-6\left(-8\right)x-6\times 8y=-6\left(-16\right),-8\left(-6\right)x-8y=-8\times 18$$

Simplifica.

$$48x-48y=96,48x-8y=-144$$

Resta 48x-8y=-144 de 48x-48y=96 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$48x-48x-48y+8y=96+144$$

Suma 48x a -48x. 48x e -48x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-48y+8y=96+144$$

Suma -48y a 8y.

$$-40y=96+144$$

Suma 96 a 144.

$$-40y=240$$

Divide ambos lados entre -40.

$$y=-6$$

Substitúe y por -6 en -6x+y=18. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-6x-6=18$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$-6x=24$$

Divide ambos lados entre -6.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=-6$$