Resolver {l}{-8x+7y=13}{7x-9y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 7 y = 13 } \\ { 7 x - 9 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-8x+7y=13$$

Resta 7y en ambos lados da ecuación.

$$-8x=-7y+13$$

Divide ambos lados entre -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-7y+13\right)$$

Multiplica -\frac{1}{8} por -7y+13.

$$x=\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}$$

Substitúe x por \frac{7y-13}{8} na outra ecuación, 7x-9y=-20.

$$7\left(\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}\right)-9y=-20$$

Multiplica 7 por \frac{7y-13}{8}.

$$\frac{49}{8}y-\frac{91}{8}-9y=-20$$

Suma \frac{49y}{8} a -9y.

$$-\frac{23}{8}y-\frac{91}{8}=-20$$

Suma \frac{91}{8} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{23}{8}y=-\frac{69}{8}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{23}{8}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{7}{8}\times 3-\frac{13}{8}$$

Multiplica \frac{7}{8} por 3.

$$x=\frac{21-13}{8}$$

Suma -\frac{13}{8} a \frac{21}{8} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-8\left(-9\right)-7\times 7}&-\frac{7}{-8\left(-9\right)-7\times 7}\\-\frac{7}{-8\left(-9\right)-7\times 7}&-\frac{8}{-8\left(-9\right)-7\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{23}&-\frac{7}{23}\\-\frac{7}{23}&-\frac{8}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{23}\times 13-\frac{7}{23}\left(-20\right)\\-\frac{7}{23}\times 13-\frac{8}{23}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

Para que -8x e 7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 7 e todos os termos a cada lado da segunda por -8.

$$7\left(-8\right)x+7\times 7y=7\times 13,-8\times 7x-8\left(-9\right)y=-8\left(-20\right)$$

Simplifica.

$$-56x+49y=91,-56x+72y=160$$

Resta -56x+72y=160 de -56x+49y=91 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-56x+56x+49y-72y=91-160$$

Suma -56x a 56x. -56x e 56x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$49y-72y=91-160$$

Suma 49y a -72y.

$$-23y=91-160$$

Suma 91 a -160.

$$-23y=-69$$

Divide ambos lados entre -23.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en 7x-9y=-20. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$7x-9\times 3=-20$$

Multiplica -9 por 3.

$$7x-27=-20$$

Suma 27 en ambos lados da ecuación.

$$7x=7$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=3$$