Resolver {l}{-8x+7y=-9}{-9x+7y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 7 y = - 9 } \\ { - 9 x + 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=9$$

$$y=9$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-8x+7y=-9$$

Resta 7y en ambos lados da ecuación.

$$-8x=-7y-9$$

Divide ambos lados entre -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-7y-9\right)$$

Multiplica -\frac{1}{8} por -7y-9.

$$x=\frac{7}{8}y+\frac{9}{8}$$

Substitúe x por \frac{7y+9}{8} na outra ecuación, -9x+7y=-18.

$$-9\left(\frac{7}{8}y+\frac{9}{8}\right)+7y=-18$$

Multiplica -9 por \frac{7y+9}{8}.

$$-\frac{63}{8}y-\frac{81}{8}+7y=-18$$

Suma -\frac{63y}{8} a 7y.

$$-\frac{7}{8}y-\frac{81}{8}=-18$$

Suma \frac{81}{8} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{7}{8}y=-\frac{63}{8}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{7}{8}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=9$$

Substitúe y por 9 en x=\frac{7}{8}y+\frac{9}{8}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{7}{8}\times 9+\frac{9}{8}$$

Multiplica \frac{7}{8} por 9.

$$x=\frac{63+9}{8}$$

Suma \frac{9}{8} a \frac{63}{8} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=9$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-8\times 7-7\left(-9\right)}&-\frac{7}{-8\times 7-7\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-8\times 7-7\left(-9\right)}&-\frac{8}{-8\times 7-7\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{9}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9-\left(-18\right)\\\frac{9}{7}\left(-9\right)-\frac{8}{7}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=9,y=9$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

Resta -9x+7y=-18 de -8x+7y=-9 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-8x+9x+7y-7y=-9+18$$

Suma 7y a -7y. 7y e -7y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-8x+9x=-9+18$$

Suma -8x a 9x.

$$x=-9+18$$

Suma -9 a 18.

$$x=9$$

Substitúe x por 9 en -9x+7y=-18. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-9\times 9+7y=-18$$

Multiplica -9 por 9.

$$-81+7y=-18$$

Suma 81 en ambos lados da ecuación.

$$7y=63$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=9$$