Resolver {l}{-8x+4y=8}{8x-y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 8 } \\ { 8 x - y = 16 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=8$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-8x+4y=8$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$-8x=-4y+8$$

Divide ambos lados entre -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+8\right)$$

Multiplica -\frac{1}{8} por -4y+8.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

Substitúe x por \frac{y}{2}-1 na outra ecuación, 8x-y=16.

$$8\left(\frac{1}{2}y-1\right)-y=16$$

Multiplica 8 por \frac{y}{2}-1.

$$4y-8-y=16$$

Suma 4y a -y.

$$3y-8=16$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$3y=24$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=8$$

Substitúe y por 8 en x=\frac{1}{2}y-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{2}\times 8-1$$

Multiplica \frac{1}{2} por 8.

$$x=4-1$$

Suma -1 a 4.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=8$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-8\left(-1\right)-4\times 8}&-\frac{4}{-8\left(-1\right)-4\times 8}\\-\frac{8}{-8\left(-1\right)-4\times 8}&-\frac{8}{-8\left(-1\right)-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\times 8+\frac{1}{6}\times 16\\\frac{1}{3}\times 8+\frac{1}{3}\times 16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=8$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

Para que -8x e 8x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 8 e todos os termos a cada lado da segunda por -8.

$$8\left(-8\right)x+8\times 4y=8\times 8,-8\times 8x-8\left(-1\right)y=-8\times 16$$

Simplifica.

$$-64x+32y=64,-64x+8y=-128$$

Resta -64x+8y=-128 de -64x+32y=64 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-64x+64x+32y-8y=64+128$$

Suma -64x a 64x. -64x e 64x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$32y-8y=64+128$$

Suma 32y a -8y.

$$24y=64+128$$

Suma 64 a 128.

$$24y=192$$

Divide ambos lados entre 24.

$$y=8$$

Substitúe y por 8 en 8x-y=16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$8x-8=16$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$8x=24$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=8$$