Resolver {l}{-7x-8y=-2}{-5x+8y=26}

$$\left. \begin{array} { l } { - 7 x - 8 y = - 2 } \\ { - 5 x + 8 y = 26 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-2$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-7x-8y=-2,-5x+8y=26$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-7x-8y=-2$$

Suma 8y en ambos lados da ecuación.

$$-7x=8y-2$$

Divide ambos lados entre -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(8y-2\right)$$

Multiplica -\frac{1}{7} por 8y-2.

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{2}{7}$$

Substitúe x por \frac{-8y+2}{7} na outra ecuación, -5x+8y=26.

$$-5\left(-\frac{8}{7}y+\frac{2}{7}\right)+8y=26$$

Multiplica -5 por \frac{-8y+2}{7}.

$$\frac{40}{7}y-\frac{10}{7}+8y=26$$

Suma \frac{40y}{7} a 8y.

$$\frac{96}{7}y-\frac{10}{7}=26$$

Suma \frac{10}{7} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{96}{7}y=\frac{192}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{96}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-\frac{8}{7}y+\frac{2}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{8}{7}\times 2+\frac{2}{7}$$

Multiplica -\frac{8}{7} por 2.

$$x=\frac{-16+2}{7}$$

Suma \frac{2}{7} a -\frac{16}{7} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-7x-8y=-2,-5x+8y=26$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{-8}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{7}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}\\-\frac{5}{96}&\frac{7}{96}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-2\right)-\frac{1}{12}\times 26\\-\frac{5}{96}\left(-2\right)+\frac{7}{96}\times 26\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-7x-8y=-2,-5x+8y=26$$

Para que -7x e -5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -5 e todos os termos a cada lado da segunda por -7.

$$-5\left(-7\right)x-5\left(-8\right)y=-5\left(-2\right),-7\left(-5\right)x-7\times 8y=-7\times 26$$

Simplifica.

$$35x+40y=10,35x-56y=-182$$

Resta 35x-56y=-182 de 35x+40y=10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$35x-35x+40y+56y=10+182$$

Suma 35x a -35x. 35x e -35x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$40y+56y=10+182$$

Suma 40y a 56y.

$$96y=10+182$$

Suma 10 a 182.

$$96y=192$$

Divide ambos lados entre 96.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en -5x+8y=26. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-5x+8\times 2=26$$

Multiplica 8 por 2.

$$-5x+16=26$$

Resta 16 en ambos lados da ecuación.

$$-5x=10$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=2$$