Resolver {l}{-7x+2y=-24}{5x-y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 7 x + 2 y = - 24 } \\ { 5 x - y = 18 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-7x+2y=-24,5x-y=18$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-7x+2y=-24$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$-7x=-2y-24$$

Divide ambos lados entre -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-2y-24\right)$$

Multiplica -\frac{1}{7} por -2y-24.

$$x=\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

Substitúe x por \frac{24+2y}{7} na outra ecuación, 5x-y=18.

$$5\left(\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)-y=18$$

Multiplica 5 por \frac{24+2y}{7}.

$$\frac{10}{7}y+\frac{120}{7}-y=18$$

Suma \frac{10y}{7} a -y.

$$\frac{3}{7}y+\frac{120}{7}=18$$

Resta \frac{120}{7} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{3}{7}y=\frac{6}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{3}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{2}{7}\times 2+\frac{24}{7}$$

Multiplica \frac{2}{7} por 2.

$$x=\frac{4+24}{7}$$

Suma \frac{24}{7} a \frac{4}{7} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-7x+2y=-24,5x-y=18$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-7\left(-1\right)-2\times 5}&-\frac{2}{-7\left(-1\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{-7\left(-1\right)-2\times 5}&-\frac{7}{-7\left(-1\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{3}&\frac{7}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-24\right)+\frac{2}{3}\times 18\\\frac{5}{3}\left(-24\right)+\frac{7}{3}\times 18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-7x+2y=-24,5x-y=18$$

Para que -7x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por -7.

$$5\left(-7\right)x+5\times 2y=5\left(-24\right),-7\times 5x-7\left(-1\right)y=-7\times 18$$

Simplifica.

$$-35x+10y=-120,-35x+7y=-126$$

Resta -35x+7y=-126 de -35x+10y=-120 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-35x+35x+10y-7y=-120+126$$

Suma -35x a 35x. -35x e 35x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10y-7y=-120+126$$

Suma 10y a -7y.

$$3y=-120+126$$

Suma -120 a 126.

$$3y=6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 5x-y=18. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x-2=18$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$5x=20$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=2$$