Resolver {l}{-6x+5y=1}{6x+4y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + 5 y = 1 } \\ { 6 x + 4 y = - 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-6x+5y=1$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$-6x=-5y+1$$

Divide ambos lados entre -6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-5y+1\right)$$

Multiplica -\frac{1}{6} por -5y+1.

$$x=\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}$$

Substitúe x por \frac{5y-1}{6} na outra ecuación, 6x+4y=-10.

$$6\left(\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}\right)+4y=-10$$

Multiplica 6 por \frac{5y-1}{6}.

$$5y-1+4y=-10$$

Suma 5y a 4y.

$$9y-1=-10$$

Suma 1 en ambos lados da ecuación.

$$9y=-9$$

Divide ambos lados entre 9.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{6}\left(-1\right)-\frac{1}{6}$$

Multiplica \frac{5}{6} por -1.

$$x=\frac{-5-1}{6}$$

Suma -\frac{1}{6} a -\frac{5}{6} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-6\times 4-5\times 6}&-\frac{5}{-6\times 4-5\times 6}\\-\frac{6}{-6\times 4-5\times 6}&-\frac{6}{-6\times 4-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{27}+\frac{5}{54}\left(-10\right)\\\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

Para que -6x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por -6.

$$6\left(-6\right)x+6\times 5y=6,-6\times 6x-6\times 4y=-6\left(-10\right)$$

Simplifica.

$$-36x+30y=6,-36x-24y=60$$

Resta -36x-24y=60 de -36x+30y=6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-36x+36x+30y+24y=6-60$$

Suma -36x a 36x. -36x e 36x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$30y+24y=6-60$$

Suma 30y a 24y.

$$54y=6-60$$

Suma 6 a -60.

$$54y=-54$$

Divide ambos lados entre 54.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en 6x+4y=-10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x+4\left(-1\right)=-10$$

Multiplica 4 por -1.

$$6x-4=-10$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$6x=-6$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=-1$$