Resolver {l}{-5y+8x=-18}{5y+2x=58}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=4$$

$$y=10$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$-5y+8x=-18$$

Resta 8x en ambos lados da ecuación.

$$-5y=-8x-18$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=-\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

Multiplica -\frac{1}{5} por -8x-18.

$$y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}$$

Substitúe y por \frac{8x+18}{5} na outra ecuación, 5y+2x=58.

$$5\left(\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

Multiplica 5 por \frac{8x+18}{5}.

$$8x+18+2x=58$$

Suma 8x a 2x.

$$10x+18=58$$

Resta 18 en ambos lados da ecuación.

$$10x=40$$

Divide ambos lados entre 10.

$$x=4$$

Substitúe x por 4 en y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=\frac{8}{5}\times 4+\frac{18}{5}$$

Multiplica \frac{8}{5} por 4.

$$y=\frac{32+18}{5}$$

Suma \frac{18}{5} a \frac{32}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=10,x=4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{-5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}\left(-18\right)+\frac{4}{25}\times 58\\\frac{1}{10}\left(-18\right)+\frac{1}{10}\times 58\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=10,x=4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Para que -5y e 5y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por -5.

$$5\left(-5\right)y+5\times 8x=5\left(-18\right),-5\times 5y-5\times 2x=-5\times 58$$

Simplifica.

$$-25y+40x=-90,-25y-10x=-290$$

Resta -25y-10x=-290 de -25y+40x=-90 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-25y+25y+40x+10x=-90+290$$

Suma -25y a 25y. -25y e 25y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$40x+10x=-90+290$$

Suma 40x a 10x.

$$50x=-90+290$$

Suma -90 a 290.

$$50x=200$$

Divide ambos lados entre 50.

$$x=4$$

Substitúe x por 4 en 5y+2x=58. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$5y+2\times 4=58$$

Multiplica 2 por 4.

$$5y+8=58$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$5y=50$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=10,x=4$$