Resolver {l}{-5x-8y=8}{-5x+6y=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x - 8 y = 8 } \\ { - 5 x + 6 y = - 6 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-5x-8y=8,-5x+6y=-6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-5x-8y=8$$

Suma 8y en ambos lados da ecuación.

$$-5x=8y+8$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(8y+8\right)$$

Multiplica -\frac{1}{5} por 8+8y.

$$x=-\frac{8}{5}y-\frac{8}{5}$$

Substitúe x por \frac{-8y-8}{5} na outra ecuación, -5x+6y=-6.

$$-5\left(-\frac{8}{5}y-\frac{8}{5}\right)+6y=-6$$

Multiplica -5 por \frac{-8y-8}{5}.

$$8y+8+6y=-6$$

Suma 8y a 6y.

$$14y+8=-6$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$14y=-14$$

Divide ambos lados entre 14.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=-\frac{8}{5}y-\frac{8}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{8}{5}\left(-1\right)-\frac{8}{5}$$

Multiplica -\frac{8}{5} por -1.

$$x=\frac{8-8}{5}$$

Suma -\frac{8}{5} a \frac{8}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-5x-8y=8,-5x+6y=-6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-8\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-5\times 6-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{-8}{-5\times 6-\left(-8\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-5\times 6-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 6-\left(-8\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{35}&-\frac{4}{35}\\-\frac{1}{14}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{35}\times 8-\frac{4}{35}\left(-6\right)\\-\frac{1}{14}\times 8+\frac{1}{14}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-5x-8y=8,-5x+6y=-6$$

Resta -5x+6y=-6 de -5x-8y=8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-5x+5x-8y-6y=8+6$$

Suma -5x a 5x. -5x e 5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-8y-6y=8+6$$

Suma -8y a -6y.

$$-14y=8+6$$

Suma 8 a 6.

$$-14y=14$$

Divide ambos lados entre -14.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en -5x+6y=-6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-5x+6\left(-1\right)=-6$$

Multiplica 6 por -1.

$$-5x-6=-6$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$-5x=0$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-1$$