Resolver {l}{-5x-3y-9=0}{4x-18y-54=0}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x - 3 y - 9 = 0 } \\ { 4 x - 18 y - 54 = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y=-3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-5x-3y-9=0$$

Suma 9 en ambos lados da ecuación.

$$-5x-3y=9$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$-5x=3y+9$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(3y+9\right)$$

Multiplica -\frac{1}{5} por 9+3y.

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5}$$

Substitúe x por \frac{-3y-9}{5} na outra ecuación, 4x-18y-54=0.

$$4\left(-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5}\right)-18y-54=0$$

Multiplica 4 por \frac{-3y-9}{5}.

$$-\frac{12}{5}y-\frac{36}{5}-18y-54=0$$

Suma -\frac{12y}{5} a -18y.

$$-\frac{102}{5}y-\frac{36}{5}-54=0$$

Suma -\frac{36}{5} a -54.

$$-\frac{102}{5}y-\frac{306}{5}=0$$

Suma \frac{306}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{102}{5}y=\frac{306}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{102}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x=-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{5}\left(-3\right)-\frac{9}{5}$$

Multiplica -\frac{3}{5} por -3.

$$x=\frac{9-9}{5}$$

Suma -\frac{9}{5} a \frac{9}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{5}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}&\frac{1}{34}\\-\frac{2}{51}&-\frac{5}{102}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}\times 9+\frac{1}{34}\times 54\\-\frac{2}{51}\times 9-\frac{5}{102}\times 54\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=-3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

Para que -5x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por -5.

$$4\left(-5\right)x+4\left(-3\right)y+4\left(-9\right)=0,-5\times 4x-5\left(-18\right)y-5\left(-54\right)=0$$

Simplifica.

$$-20x-12y-36=0,-20x+90y+270=0$$

Resta -20x+90y+270=0 de -20x-12y-36=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-20x+20x-12y-90y-36-270=0$$

Suma -20x a 20x. -20x e 20x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-12y-90y-36-270=0$$

Suma -12y a -90y.

$$-102y-36-270=0$$

Suma -36 a -270.

$$-102y-306=0$$

Suma 306 en ambos lados da ecuación.

$$-102y=306$$

Divide ambos lados entre -102.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en 4x-18y-54=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x-18\left(-3\right)-54=0$$

Multiplica -18 por -3.

$$4x+54-54=0$$

Suma 54 a -54.

$$4x=0$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-3$$