Resolver {l}{-5x+y=-3}{3x-8y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + y = - 3 } \\ { 3 x - 8 y = 24 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y=-3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-5x+y=-3,3x-8y=24$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-5x+y=-3$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$-5x=-y-3$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-3\right)$$

Multiplica -\frac{1}{5} por -y-3.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}$$

Substitúe x por \frac{3+y}{5} na outra ecuación, 3x-8y=24.

$$3\left(\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}\right)-8y=24$$

Multiplica 3 por \frac{3+y}{5}.

$$\frac{3}{5}y+\frac{9}{5}-8y=24$$

Suma \frac{3y}{5} a -8y.

$$-\frac{37}{5}y+\frac{9}{5}=24$$

Resta \frac{9}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{37}{5}y=\frac{111}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{37}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{3}{5}$$

Multiplica \frac{1}{5} por -3.

$$x=\frac{-3+3}{5}$$

Suma \frac{3}{5} a -\frac{3}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-5x+y=-3,3x-8y=24$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-5\left(-8\right)-3}&-\frac{1}{-5\left(-8\right)-3}\\-\frac{3}{-5\left(-8\right)-3}&-\frac{5}{-5\left(-8\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{37}&-\frac{1}{37}\\-\frac{3}{37}&-\frac{5}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{37}\left(-3\right)-\frac{1}{37}\times 24\\-\frac{3}{37}\left(-3\right)-\frac{5}{37}\times 24\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=-3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-5x+y=-3,3x-8y=24$$

Para que -5x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por -5.

$$3\left(-5\right)x+3y=3\left(-3\right),-5\times 3x-5\left(-8\right)y=-5\times 24$$

Simplifica.

$$-15x+3y=-9,-15x+40y=-120$$

Resta -15x+40y=-120 de -15x+3y=-9 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-15x+15x+3y-40y=-9+120$$

Suma -15x a 15x. -15x e 15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y-40y=-9+120$$

Suma 3y a -40y.

$$-37y=-9+120$$

Suma -9 a 120.

$$-37y=111$$

Divide ambos lados entre -37.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en 3x-8y=24. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-8\left(-3\right)=24$$

Multiplica -8 por -3.

$$3x+24=24$$

Resta 24 en ambos lados da ecuación.

$$3x=0$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-3$$