Resolver {l}{-5x+5y=-5}{-4x+2y=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 5 y = - 5 } \\ { - 4 x + 2 y = - 14 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=6$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-5x+5y=-5,-4x+2y=-14$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-5x+5y=-5$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$-5x=-5y-5$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-5y-5\right)$$

Multiplica -\frac{1}{5} por -5y-5.

$$x=y+1$$

Substitúe x por y+1 na outra ecuación, -4x+2y=-14.

$$-4\left(y+1\right)+2y=-14$$

Multiplica -4 por y+1.

$$-4y-4+2y=-14$$

Suma -4y a 2y.

$$-2y-4=-14$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$-2y=-10$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=y+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=5+1$$

Suma 1 a 5.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-5x+5y=-5,-4x+2y=-14$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-5\left(-4\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-5\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-5\left(-4\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-5\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{2}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-5\right)-\frac{1}{2}\left(-14\right)\\\frac{2}{5}\left(-5\right)-\frac{1}{2}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=6,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-5x+5y=-5,-4x+2y=-14$$

Para que -5x e -4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -4 e todos os termos a cada lado da segunda por -5.

$$-4\left(-5\right)x-4\times 5y=-4\left(-5\right),-5\left(-4\right)x-5\times 2y=-5\left(-14\right)$$

Simplifica.

$$20x-20y=20,20x-10y=70$$

Resta 20x-10y=70 de 20x-20y=20 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$20x-20x-20y+10y=20-70$$

Suma 20x a -20x. 20x e -20x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-20y+10y=20-70$$

Suma -20y a 10y.

$$-10y=20-70$$

Suma 20 a -70.

$$-10y=-50$$

Divide ambos lados entre -10.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en -4x+2y=-14. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-4x+2\times 5=-14$$

Multiplica 2 por 5.

$$-4x+10=-14$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$-4x=-24$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=5$$