Resolver {l}{-5x+5y=-10}{-2x+5y=-16}hline

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 5 y = - 10 } \\ { - 2 x + 5 y = - 16 } \\ \hline \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-2$$

$$y=-4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-5x+5y=-10,-2x+5y=-16$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-5x+5y=-10$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$-5x=-5y-10$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-5y-10\right)$$

Multiplica -\frac{1}{5} por -5y-10.

$$x=y+2$$

Substitúe x por y+2 na outra ecuación, -2x+5y=-16.

$$-2\left(y+2\right)+5y=-16$$

Multiplica -2 por y+2.

$$-2y-4+5y=-16$$

Suma -2y a 5y.

$$3y-4=-16$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$3y=-12$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en x=y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-4+2$$

Suma 2 a -4.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=-4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-5x+5y=-10,-2x+5y=-16$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5\times 5-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-5\times 5-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-10\right)+\frac{1}{3}\left(-16\right)\\-\frac{2}{15}\left(-10\right)+\frac{1}{3}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2,y=-4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-5x+5y=-10,-2x+5y=-16$$

Resta -2x+5y=-16 de -5x+5y=-10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-5x+2x+5y-5y=-10+16$$

Suma 5y a -5y. 5y e -5y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-5x+2x=-10+16$$

Suma -5x a 2x.

$$-3x=-10+16$$

Suma -10 a 16.

$$-3x=6$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=-2$$

Substitúe x por -2 en -2x+5y=-16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-2\left(-2\right)+5y=-16$$

Multiplica -2 por -2.

$$4+5y=-16$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$5y=-20$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=-4$$