Resolver {l}{-5x+4y=22}{-2x-3y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 4 y = 22 } \\ { - 2 x - 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-2$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-5x+4y=22,-2x-3y=-5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-5x+4y=22$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$-5x=-4y+22$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-4y+22\right)$$

Multiplica -\frac{1}{5} por -4y+22.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{22}{5}$$

Substitúe x por \frac{4y-22}{5} na outra ecuación, -2x-3y=-5.

$$-2\left(\frac{4}{5}y-\frac{22}{5}\right)-3y=-5$$

Multiplica -2 por \frac{4y-22}{5}.

$$-\frac{8}{5}y+\frac{44}{5}-3y=-5$$

Suma -\frac{8y}{5} a -3y.

$$-\frac{23}{5}y+\frac{44}{5}=-5$$

Resta \frac{44}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{23}{5}y=-\frac{69}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{23}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=\frac{4}{5}y-\frac{22}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{4}{5}\times 3-\frac{22}{5}$$

Multiplica \frac{4}{5} por 3.

$$x=\frac{12-22}{5}$$

Suma -\frac{22}{5} a \frac{12}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-5x+4y=22,-2x-3y=-5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-5&4\\-2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-5&4\\-2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\-2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&4\\-2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\-2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\-2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\-2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-5\left(-3\right)-4\left(-2\right)}&-\frac{4}{-5\left(-3\right)-4\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-5\left(-3\right)-4\left(-2\right)}&-\frac{5}{-5\left(-3\right)-4\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{23}&-\frac{4}{23}\\\frac{2}{23}&-\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{23}\times 22-\frac{4}{23}\left(-5\right)\\\frac{2}{23}\times 22-\frac{5}{23}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-5x+4y=22,-2x-3y=-5$$

Para que -5x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por -5.

$$-2\left(-5\right)x-2\times 4y=-2\times 22,-5\left(-2\right)x-5\left(-3\right)y=-5\left(-5\right)$$

Simplifica.

$$10x-8y=-44,10x+15y=25$$

Resta 10x+15y=25 de 10x-8y=-44 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x-8y-15y=-44-25$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-8y-15y=-44-25$$

Suma -8y a -15y.

$$-23y=-44-25$$

Suma -44 a -25.

$$-23y=-69$$

Divide ambos lados entre -23.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en -2x-3y=-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x-3\times 3=-5$$

Multiplica -3 por 3.

$$-2x-9=-5$$

Suma 9 en ambos lados da ecuación.

$$-2x=4$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=3$$