Resolver {l}{-5x+10y=15}{-5x+2y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 10 y = 15 } \\ { - 5 x + 2 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-5x+10y=15,-5x+2y=-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-5x+10y=15$$

Resta 10y en ambos lados da ecuación.

$$-5x=-10y+15$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-10y+15\right)$$

Multiplica -\frac{1}{5} por -10y+15.

$$x=2y-3$$

Substitúe x por 2y-3 na outra ecuación, -5x+2y=-1.

$$-5\left(2y-3\right)+2y=-1$$

Multiplica -5 por 2y-3.

$$-10y+15+2y=-1$$

Suma -10y a 2y.

$$-8y+15=-1$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$-8y=-16$$

Divide ambos lados entre -8.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=2y-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2\times 2-3$$

Multiplica 2 por 2.

$$x=4-3$$

Suma -3 a 4.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-5x+10y=15,-5x+2y=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-10\left(-5\right)}&-\frac{10}{-5\times 2-10\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-5\times 2-10\left(-5\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-10\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\times 15-\frac{1}{4}\left(-1\right)\\\frac{1}{8}\times 15-\frac{1}{8}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-5x+10y=15,-5x+2y=-1$$

Resta -5x+2y=-1 de -5x+10y=15 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-5x+5x+10y-2y=15+1$$

Suma -5x a 5x. -5x e 5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10y-2y=15+1$$

Suma 10y a -2y.

$$8y=15+1$$

Suma 15 a 1.

$$8y=16$$

Divide ambos lados entre 8.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en -5x+2y=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-5x+2\times 2=-1$$

Multiplica 2 por 2.

$$-5x+4=-1$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$-5x=-5$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=2$$