Resolver {l}{-4x-10y=20}{8x+10y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x - 10 y = 20 } \\ { 8 x + 10 y = 20 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=10$$

$$y=-6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-4x-10y=20$$

Suma 10y en ambos lados da ecuación.

$$-4x=10y+20$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(10y+20\right)$$

Multiplica -\frac{1}{4} por 20+10y.

$$x=-\frac{5}{2}y-5$$

Substitúe x por -\frac{5y}{2}-5 na outra ecuación, 8x+10y=20.

$$8\left(-\frac{5}{2}y-5\right)+10y=20$$

Multiplica 8 por -\frac{5y}{2}-5.

$$-20y-40+10y=20$$

Suma -20y a 10y.

$$-10y-40=20$$

Suma 40 en ambos lados da ecuación.

$$-10y=60$$

Divide ambos lados entre -10.

$$y=-6$$

Substitúe y por -6 en x=-\frac{5}{2}y-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-6\right)-5$$

Multiplica -\frac{5}{2} por -6.

$$x=15-5$$

Suma -5 a 15.

$$x=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=-6$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{-10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\\-\frac{8}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{4}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 20+\frac{1}{4}\times 20\\-\frac{1}{5}\times 20-\frac{1}{10}\times 20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=10,y=-6$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

Para que -4x e 8x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 8 e todos os termos a cada lado da segunda por -4.

$$8\left(-4\right)x+8\left(-10\right)y=8\times 20,-4\times 8x-4\times 10y=-4\times 20$$

Simplifica.

$$-32x-80y=160,-32x-40y=-80$$

Resta -32x-40y=-80 de -32x-80y=160 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-32x+32x-80y+40y=160+80$$

Suma -32x a 32x. -32x e 32x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-80y+40y=160+80$$

Suma -80y a 40y.

$$-40y=160+80$$

Suma 160 a 80.

$$-40y=240$$

Divide ambos lados entre -40.

$$y=-6$$

Substitúe y por -6 en 8x+10y=20. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$8x+10\left(-6\right)=20$$

Multiplica 10 por -6.

$$8x-60=20$$

Suma 60 en ambos lados da ecuación.

$$8x=80$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=-6$$