Resolver {l}{-4x+y=6}{-5x-y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + y = 6 } \\ { - 5 x - y = 21 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-3$$

$$y=-6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-4x+y=6,-5x-y=21$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-4x+y=6$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$-4x=-y+6$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-y+6\right)$$

Multiplica -\frac{1}{4} por -y+6.

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{3}{2}$$

Substitúe x por \frac{y}{4}-\frac{3}{2} na outra ecuación, -5x-y=21.

$$-5\left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{2}\right)-y=21$$

Multiplica -5 por \frac{y}{4}-\frac{3}{2}.

$$-\frac{5}{4}y+\frac{15}{2}-y=21$$

Suma -\frac{5y}{4} a -y.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{15}{2}=21$$

Resta \frac{15}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{9}{4}y=\frac{27}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{9}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-6$$

Substitúe y por -6 en x=\frac{1}{4}y-\frac{3}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{4}\left(-6\right)-\frac{3}{2}$$

Multiplica \frac{1}{4} por -6.

$$x=\frac{-3-3}{2}$$

Suma -\frac{3}{2} a -\frac{3}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=-6$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-4x+y=6,-5x-y=21$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}&-\frac{1}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}&-\frac{4}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\\\frac{5}{9}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 6-\frac{1}{9}\times 21\\\frac{5}{9}\times 6-\frac{4}{9}\times 21\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-3,y=-6$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-4x+y=6,-5x-y=21$$

Para que -4x e -5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -5 e todos os termos a cada lado da segunda por -4.

$$-5\left(-4\right)x-5y=-5\times 6,-4\left(-5\right)x-4\left(-1\right)y=-4\times 21$$

Simplifica.

$$20x-5y=-30,20x+4y=-84$$

Resta 20x+4y=-84 de 20x-5y=-30 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$20x-20x-5y-4y=-30+84$$

Suma 20x a -20x. 20x e -20x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-5y-4y=-30+84$$

Suma -5y a -4y.

$$-9y=-30+84$$

Suma -30 a 84.

$$-9y=54$$

Divide ambos lados entre -9.

$$y=-6$$

Substitúe y por -6 en -5x-y=21. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-5x-\left(-6\right)=21$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$-5x=15$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=-6$$