Resolver {l}{-4x+7y+5=0}{x-3y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 7 y + 5 = 0 } \\ { x - 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=10$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-4x+7y+5=0,x-3y=-5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-4x+7y+5=0$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$-4x+7y=-5$$

Resta 7y en ambos lados da ecuación.

$$-4x=-7y-5$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-7y-5\right)$$

Multiplica -\frac{1}{4} por -7y-5.

$$x=\frac{7}{4}y+\frac{5}{4}$$

Substitúe x por \frac{7y+5}{4} na outra ecuación, x-3y=-5.

$$\frac{7}{4}y+\frac{5}{4}-3y=-5$$

Suma \frac{7y}{4} a -3y.

$$-\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}=-5$$

Resta \frac{5}{4} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{5}{4}y=-\frac{25}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{5}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=\frac{7}{4}y+\frac{5}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{7}{4}\times 5+\frac{5}{4}$$

Multiplica \frac{7}{4} por 5.

$$x=\frac{35+5}{4}$$

Suma \frac{5}{4} a \frac{35}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-4x+7y+5=0,x-3y=-5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&7\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-4\left(-3\right)-7}&-\frac{7}{-4\left(-3\right)-7}\\-\frac{1}{-4\left(-3\right)-7}&-\frac{4}{-4\left(-3\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&-\frac{7}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\left(-5\right)-\frac{7}{5}\left(-5\right)\\-\frac{1}{5}\left(-5\right)-\frac{4}{5}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=10,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-4x+7y+5=0,x-3y=-5$$

Para que -4x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por -4.

$$-4x+7y+5=0,-4x-4\left(-3\right)y=-4\left(-5\right)$$

Simplifica.

$$-4x+7y+5=0,-4x+12y=20$$

Resta -4x+12y=20 de -4x+7y+5=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-4x+4x+7y-12y+5=-20$$

Suma -4x a 4x. -4x e 4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$7y-12y+5=-20$$

Suma 7y a -12y.

$$-5y+5=-20$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$-5y=-25$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x-3y=-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-3\times 5=-5$$

Multiplica -3 por 5.

$$x-15=-5$$

Suma 15 en ambos lados da ecuación.

$$x=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=5$$