Resolver {l}{-4x+5y=24}{y=2x}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 5 y = 24 } \\ { y = 2 x } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=8$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-4x+5y=24$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$-4x=-5y+24$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-5y+24\right)$$

Multiplica -\frac{1}{4} por -5y+24.

$$x=\frac{5}{4}y-6$$

Substitúe x por \frac{5y}{4}-6 na outra ecuación, -2x+y=0.

$$-2\left(\frac{5}{4}y-6\right)+y=0$$

Multiplica -2 por \frac{5y}{4}-6.

$$-\frac{5}{2}y+12+y=0$$

Suma -\frac{5y}{2} a y.

$$-\frac{3}{2}y+12=0$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{3}{2}y=-12$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{3}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=8$$

Substitúe y por 8 en x=\frac{5}{4}y-6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{4}\times 8-6$$

Multiplica \frac{5}{4} por 8.

$$x=10-6$$

Suma -6 a 10.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=8$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-4-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-4-5\left(-2\right)}&-\frac{4}{-4-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 24\\\frac{1}{3}\times 24\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=8$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

Para que -4x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por -4.

$$-2\left(-4\right)x-2\times 5y=-2\times 24,-4\left(-2\right)x-4y=0$$

Simplifica.

$$8x-10y=-48,8x-4y=0$$

Resta 8x-4y=0 de 8x-10y=-48 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-8x-10y+4y=-48$$

Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-10y+4y=-48$$

Suma -10y a 4y.

$$-6y=-48$$

Divide ambos lados entre -6.

$$y=8$$

Substitúe y por 8 en -2x+y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x+8=0$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$-2x=-8$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=8$$