Resolver {l}{-4x+3y=-5}{-7x+3y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 3 y = - 5 } \\ { - 7 x + 3 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-4x+3y=-5,-7x+3y=-20$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-4x+3y=-5$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$-4x=-3y-5$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-3y-5\right)$$

Multiplica -\frac{1}{4} por -3y-5.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

Substitúe x por \frac{3y+5}{4} na outra ecuación, -7x+3y=-20.

$$-7\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}\right)+3y=-20$$

Multiplica -7 por \frac{3y+5}{4}.

$$-\frac{21}{4}y-\frac{35}{4}+3y=-20$$

Suma -\frac{21y}{4} a 3y.

$$-\frac{9}{4}y-\frac{35}{4}=-20$$

Suma \frac{35}{4} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{9}{4}y=-\frac{45}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{9}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{4}\times 5+\frac{5}{4}$$

Multiplica \frac{3}{4} por 5.

$$x=\frac{15+5}{4}$$

Suma \frac{5}{4} a \frac{15}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-4x+3y=-5,-7x+3y=-20$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-4\times 3-3\left(-7\right)}&-\frac{3}{-4\times 3-3\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-4\times 3-3\left(-7\right)}&-\frac{4}{-4\times 3-3\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{7}{9}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-5\right)-\frac{1}{3}\left(-20\right)\\\frac{7}{9}\left(-5\right)-\frac{4}{9}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-4x+3y=-5,-7x+3y=-20$$

Resta -7x+3y=-20 de -4x+3y=-5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-4x+7x+3y-3y=-5+20$$

Suma 3y a -3y. 3y e -3y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4x+7x=-5+20$$

Suma -4x a 7x.

$$3x=-5+20$$

Suma -5 a 20.

$$3x=15$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=5$$

Substitúe x por 5 en -7x+3y=-20. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-7\times 5+3y=-20$$

Multiplica -7 por 5.

$$-35+3y=-20$$

Suma 35 en ambos lados da ecuación.

$$3y=15$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=5$$