Resolver {l}{-3x-y=2x-1}{-3(2x+5y)=x+y-30}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - y = 2 x - 1 } \\ { - 3 ( 2 x + 5 y ) = x + y - 30 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{14}{73}\approx -0.191780822$$

$$y = \frac{143}{73} = 1\frac{70}{73} \approx 1.95890411$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$-3x-y-2x=-1$$

Combina -3x e -2x para obter -5x.

$$-5x-y=-1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por 2x+5y.

$$-6x-15y=x+y-30$$

Resta x en ambos lados.

$$-6x-15y-x=y-30$$

Combina -6x e -x para obter -7x.

$$-7x-15y=y-30$$

Resta y en ambos lados.

$$-7x-15y-y=-30$$

Combina -15y e -y para obter -16y.

$$-7x-16y=-30$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-5x-y=-1$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$-5x=y-1$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(y-1\right)$$

Multiplica -\frac{1}{5} por y-1.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}$$

Substitúe x por \frac{-y+1}{5} na outra ecuación, -7x-16y=-30.

$$-7\left(-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}\right)-16y=-30$$

Multiplica -7 por \frac{-y+1}{5}.

$$\frac{7}{5}y-\frac{7}{5}-16y=-30$$

Suma \frac{7y}{5} a -16y.

$$-\frac{73}{5}y-\frac{7}{5}=-30$$

Suma \frac{7}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{73}{5}y=-\frac{143}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{73}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{143}{73}$$

Substitúe y por \frac{143}{73} en x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{143}{73}+\frac{1}{5}$$

Multiplica -\frac{1}{5} por \frac{143}{73} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{143}{365}+\frac{1}{5}$$

Suma \frac{1}{5} a -\frac{143}{365} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{14}{73}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$-3x-y-2x=-1$$

Combina -3x e -2x para obter -5x.

$$-5x-y=-1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por 2x+5y.

$$-6x-15y=x+y-30$$

Resta x en ambos lados.

$$-6x-15y-x=y-30$$

Combina -6x e -x para obter -7x.

$$-7x-15y=y-30$$

Resta y en ambos lados.

$$-7x-15y-y=-30$$

Combina -15y e -y para obter -16y.

$$-7x-16y=-30$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{-1}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{5}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}&\frac{1}{73}\\\frac{7}{73}&-\frac{5}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}\left(-1\right)+\frac{1}{73}\left(-30\right)\\\frac{7}{73}\left(-1\right)-\frac{5}{73}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{73}\\\frac{143}{73}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$-3x-y-2x=-1$$

Combina -3x e -2x para obter -5x.

$$-5x-y=-1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por 2x+5y.

$$-6x-15y=x+y-30$$

Resta x en ambos lados.

$$-6x-15y-x=y-30$$

Combina -6x e -x para obter -7x.

$$-7x-15y=y-30$$

Resta y en ambos lados.

$$-7x-15y-y=-30$$

Combina -15y e -y para obter -16y.

$$-7x-16y=-30$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

Para que -5x e -7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -7 e todos os termos a cada lado da segunda por -5.

$$-7\left(-5\right)x-7\left(-1\right)y=-7\left(-1\right),-5\left(-7\right)x-5\left(-16\right)y=-5\left(-30\right)$$

Simplifica.

$$35x+7y=7,35x+80y=150$$

Resta 35x+80y=150 de 35x+7y=7 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$35x-35x+7y-80y=7-150$$

Suma 35x a -35x. 35x e -35x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$7y-80y=7-150$$

Suma 7y a -80y.

$$-73y=7-150$$

Suma 7 a -150.

$$-73y=-143$$

Divide ambos lados entre -73.

$$y=\frac{143}{73}$$

Substitúe y por \frac{143}{73} en -7x-16y=-30. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-7x-16\times \frac{143}{73}=-30$$

Multiplica -16 por \frac{143}{73}.

$$-7x-\frac{2288}{73}=-30$$

Suma \frac{2288}{73} en ambos lados da ecuación.

$$-7x=\frac{98}{73}$$

Divide ambos lados entre -7.

$$x=-\frac{14}{73}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$