Resolver {l}{-3x-5y=17}{-5x+6y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - 5 y = 17 } \\ { - 5 x + 6 y = 14 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-4$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-3x-5y=17,-5x+6y=14$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-3x-5y=17$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$-3x=5y+17$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(5y+17\right)$$

Multiplica -\frac{1}{3} por 5y+17.

$$x=-\frac{5}{3}y-\frac{17}{3}$$

Substitúe x por \frac{-5y-17}{3} na outra ecuación, -5x+6y=14.

$$-5\left(-\frac{5}{3}y-\frac{17}{3}\right)+6y=14$$

Multiplica -5 por \frac{-5y-17}{3}.

$$\frac{25}{3}y+\frac{85}{3}+6y=14$$

Suma \frac{25y}{3} a 6y.

$$\frac{43}{3}y+\frac{85}{3}=14$$

Resta \frac{85}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{43}{3}y=-\frac{43}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{43}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=-\frac{5}{3}y-\frac{17}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)-\frac{17}{3}$$

Multiplica -\frac{5}{3} por -1.

$$x=\frac{5-17}{3}$$

Suma -\frac{17}{3} a \frac{5}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-3x-5y=17,-5x+6y=14$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{-5}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{3}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{43}&-\frac{5}{43}\\-\frac{5}{43}&\frac{3}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{43}\times 17-\frac{5}{43}\times 14\\-\frac{5}{43}\times 17+\frac{3}{43}\times 14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-4,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-3x-5y=17,-5x+6y=14$$

Para que -3x e -5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -5 e todos os termos a cada lado da segunda por -3.

$$-5\left(-3\right)x-5\left(-5\right)y=-5\times 17,-3\left(-5\right)x-3\times 6y=-3\times 14$$

Simplifica.

$$15x+25y=-85,15x-18y=-42$$

Resta 15x-18y=-42 de 15x+25y=-85 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15x-15x+25y+18y=-85+42$$

Suma 15x a -15x. 15x e -15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$25y+18y=-85+42$$

Suma 25y a 18y.

$$43y=-85+42$$

Suma -85 a 42.

$$43y=-43$$

Divide ambos lados entre 43.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en -5x+6y=14. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-5x+6\left(-1\right)=14$$

Multiplica 6 por -1.

$$-5x-6=14$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$-5x=20$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=-1$$