Resolver {l}{-3x-2y=6}{3x+3y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - 2 y = 6 } \\ { 3 x + 3 y = - 9 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y=-3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-3x-2y=6,3x+3y=-9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-3x-2y=6$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$-3x=2y+6$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(2y+6\right)$$

Multiplica -\frac{1}{3} por 6+2y.

$$x=-\frac{2}{3}y-2$$

Substitúe x por -\frac{2y}{3}-2 na outra ecuación, 3x+3y=-9.

$$3\left(-\frac{2}{3}y-2\right)+3y=-9$$

Multiplica 3 por -\frac{2y}{3}-2.

$$-2y-6+3y=-9$$

Suma -2y a 3y.

$$y-6=-9$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x=-\frac{2}{3}y-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-3\right)-2$$

Multiplica -\frac{2}{3} por -3.

$$x=2-2$$

Suma -2 a 2.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-3x-2y=6,3x+3y=-9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{3}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-\frac{2}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6-\frac{2}{3}\left(-9\right)\\6-9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=-3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-3x-2y=6,3x+3y=-9$$

Para que -3x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por -3.

$$3\left(-3\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 6,-3\times 3x-3\times 3y=-3\left(-9\right)$$

Simplifica.

$$-9x-6y=18,-9x-9y=27$$

Resta -9x-9y=27 de -9x-6y=18 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-9x+9x-6y+9y=18-27$$

Suma -9x a 9x. -9x e 9x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-6y+9y=18-27$$

Suma -6y a 9y.

$$3y=18-27$$

Suma 18 a -27.

$$3y=-9$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en 3x+3y=-9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+3\left(-3\right)=-9$$

Multiplica 3 por -3.

$$3x-9=-9$$

Suma 9 en ambos lados da ecuación.

$$3x=0$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-3$$