Resolver {l}{-3x+y=8}{-8x+2y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + y = 8 } \\ { - 8 x + 2 y = 20 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-2$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-3x+y=8,-8x+2y=20$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-3x+y=8$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$-3x=-y+8$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-y+8\right)$$

Multiplica -\frac{1}{3} por -y+8.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}$$

Substitúe x por \frac{-8+y}{3} na outra ecuación, -8x+2y=20.

$$-8\left(\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}\right)+2y=20$$

Multiplica -8 por \frac{-8+y}{3}.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{64}{3}+2y=20$$

Suma -\frac{8y}{3} a 2y.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{64}{3}=20$$

Resta \frac{64}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{2}{3}y=-\frac{4}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{2}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{3}\times 2-\frac{8}{3}$$

Multiplica \frac{1}{3} por 2.

$$x=\frac{2-8}{3}$$

Suma -\frac{8}{3} a \frac{2}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-3x+y=8,-8x+2y=20$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-3\times 2-\left(-8\right)}&-\frac{1}{-3\times 2-\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{-3\times 2-\left(-8\right)}&-\frac{3}{-3\times 2-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\4&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8-\frac{1}{2}\times 20\\4\times 8-\frac{3}{2}\times 20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-3x+y=8,-8x+2y=20$$

Para que -3x e -8x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -8 e todos os termos a cada lado da segunda por -3.

$$-8\left(-3\right)x-8y=-8\times 8,-3\left(-8\right)x-3\times 2y=-3\times 20$$

Simplifica.

$$24x-8y=-64,24x-6y=-60$$

Resta 24x-6y=-60 de 24x-8y=-64 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$24x-24x-8y+6y=-64+60$$

Suma 24x a -24x. 24x e -24x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-8y+6y=-64+60$$

Suma -8y a 6y.

$$-2y=-64+60$$

Suma -64 a 60.

$$-2y=-4$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en -8x+2y=20. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-8x+2\times 2=20$$

Multiplica 2 por 2.

$$-8x+4=20$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$-8x=16$$

Divide ambos lados entre -8.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=2$$