Resolver {l}{-3x+9y=27}{-5x-8y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 9 y = 27 } \\ { - 5 x - 8 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-3x+9y=27,-5x-8y=-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-3x+9y=27$$

Resta 9y en ambos lados da ecuación.

$$-3x=-9y+27$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-9y+27\right)$$

Multiplica -\frac{1}{3} por -9y+27.

$$x=3y-9$$

Substitúe x por -9+3y na outra ecuación, -5x-8y=-1.

$$-5\left(3y-9\right)-8y=-1$$

Multiplica -5 por -9+3y.

$$-15y+45-8y=-1$$

Suma -15y a -8y.

$$-23y+45=-1$$

Resta 45 en ambos lados da ecuación.

$$-23y=-46$$

Divide ambos lados entre -23.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=3y-9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=3\times 2-9$$

Multiplica 3 por 2.

$$x=6-9$$

Suma -9 a 6.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-3x+9y=27,-5x-8y=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}&-\frac{9}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{69}&-\frac{3}{23}\\\frac{5}{69}&-\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{69}\times 27-\frac{3}{23}\left(-1\right)\\\frac{5}{69}\times 27-\frac{1}{23}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-3,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-3x+9y=27,-5x-8y=-1$$

Para que -3x e -5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -5 e todos os termos a cada lado da segunda por -3.

$$-5\left(-3\right)x-5\times 9y=-5\times 27,-3\left(-5\right)x-3\left(-8\right)y=-3\left(-1\right)$$

Simplifica.

$$15x-45y=-135,15x+24y=3$$

Resta 15x+24y=3 de 15x-45y=-135 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15x-15x-45y-24y=-135-3$$

Suma 15x a -15x. 15x e -15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-45y-24y=-135-3$$

Suma -45y a -24y.

$$-69y=-135-3$$

Suma -135 a -3.

$$-69y=-138$$

Divide ambos lados entre -69.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en -5x-8y=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-5x-8\times 2=-1$$

Multiplica -8 por 2.

$$-5x-16=-1$$

Suma 16 en ambos lados da ecuación.

$$-5x=15$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=2$$