Resolver {l}{-3x+3y=-9}{6x-y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 3 y = - 9 } \\ { 6 x - y = - 12 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-3$$

$$y=-6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-3x+3y=-9,6x-y=-12$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-3x+3y=-9$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$-3x=-3y-9$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-3y-9\right)$$

Multiplica -\frac{1}{3} por -3y-9.

$$x=y+3$$

Substitúe x por y+3 na outra ecuación, 6x-y=-12.

$$6\left(y+3\right)-y=-12$$

Multiplica 6 por y+3.

$$6y+18-y=-12$$

Suma 6y a -y.

$$5y+18=-12$$

Resta 18 en ambos lados da ecuación.

$$5y=-30$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=-6$$

Substitúe y por -6 en x=y+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-6+3$$

Suma 3 a -6.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=-6$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-3x+3y=-9,6x-y=-12$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-3\left(-1\right)-3\times 6}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{-3\left(-1\right)-3\times 6}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\left(-9\right)+\frac{1}{5}\left(-12\right)\\\frac{2}{5}\left(-9\right)+\frac{1}{5}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-3,y=-6$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-3x+3y=-9,6x-y=-12$$

Para que -3x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por -3.

$$6\left(-3\right)x+6\times 3y=6\left(-9\right),-3\times 6x-3\left(-1\right)y=-3\left(-12\right)$$

Simplifica.

$$-18x+18y=-54,-18x+3y=36$$

Resta -18x+3y=36 de -18x+18y=-54 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-18x+18x+18y-3y=-54-36$$

Suma -18x a 18x. -18x e 18x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$18y-3y=-54-36$$

Suma 18y a -3y.

$$15y=-54-36$$

Suma -54 a -36.

$$15y=-90$$

Divide ambos lados entre 15.

$$y=-6$$

Substitúe y por -6 en 6x-y=-12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x-\left(-6\right)=-12$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$6x=-18$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=-6$$