Resolver {l}{-3x+3y=-3}{x-9y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 3 y = - 3 } \\ { x - 9 y = - 15 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-3x+3y=-3,x-9y=-15$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-3x+3y=-3$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$-3x=-3y-3$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-3y-3\right)$$

Multiplica -\frac{1}{3} por -3y-3.

$$x=y+1$$

Substitúe x por y+1 na outra ecuación, x-9y=-15.

$$y+1-9y=-15$$

Suma y a -9y.

$$-8y+1=-15$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$-8y=-16$$

Divide ambos lados entre -8.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=y+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2+1$$

Suma 1 a 2.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-3x+3y=-3,x-9y=-15$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-3\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{-3\left(-9\right)-3}\\-\frac{1}{-3\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{-3\left(-9\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{24}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8}\left(-3\right)-\frac{1}{8}\left(-15\right)\\-\frac{1}{24}\left(-3\right)-\frac{1}{8}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-3x+3y=-3,x-9y=-15$$

Para que -3x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por -3.

$$-3x+3y=-3,-3x-3\left(-9\right)y=-3\left(-15\right)$$

Simplifica.

$$-3x+3y=-3,-3x+27y=45$$

Resta -3x+27y=45 de -3x+3y=-3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-3x+3x+3y-27y=-3-45$$

Suma -3x a 3x. -3x e 3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y-27y=-3-45$$

Suma 3y a -27y.

$$-24y=-3-45$$

Suma -3 a -45.

$$-24y=-48$$

Divide ambos lados entre -24.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x-9y=-15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-9\times 2=-15$$

Multiplica -9 por 2.

$$x-18=-15$$

Suma 18 en ambos lados da ecuación.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=2$$