Resolver {l}{-3x+2y=4}{x=2-y}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 2 y = 4 } \\ { x = 2 - y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir y en ambos lados.

$$x+y=2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-3x+2y=4,x+y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-3x+2y=4$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$-3x=-2y+4$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-2y+4\right)$$

Multiplica -\frac{1}{3} por -2y+4.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}$$

Substitúe x por \frac{-4+2y}{3} na outra ecuación, x+y=2.

$$\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}+y=2$$

Suma \frac{2y}{3} a y.

$$\frac{5}{3}y-\frac{4}{3}=2$$

Suma \frac{4}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{5}{3}y=\frac{10}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{5}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{2}{3}\times 2-\frac{4}{3}$$

Multiplica \frac{2}{3} por 2.

$$x=\frac{4-4}{3}$$

Suma -\frac{4}{3} a \frac{4}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir y en ambos lados.

$$x+y=2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-3x+2y=4,x+y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-3-2}&-\frac{2}{-3-2}\\-\frac{1}{-3-2}&-\frac{3}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 4+\frac{2}{5}\times 2\\\frac{1}{5}\times 4+\frac{3}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir y en ambos lados.

$$x+y=2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-3x+2y=4,x+y=2$$

Para que -3x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por -3.

$$-3x+2y=4,-3x-3y=-3\times 2$$

Simplifica.

$$-3x+2y=4,-3x-3y=-6$$

Resta -3x-3y=-6 de -3x+2y=4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-3x+3x+2y+3y=4+6$$

Suma -3x a 3x. -3x e 3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y+3y=4+6$$

Suma 2y a 3y.

$$5y=4+6$$

Suma 4 a 6.

$$5y=10$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x+y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+2=2$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=2$$