Resolver {l}{-2x-6y=-26}{5x+2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x - 6 y = - 26 } \\ { 5 x + 2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-2x-6y=-26,5x+2y=13$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-2x-6y=-26$$

Suma 6y en ambos lados da ecuación.

$$-2x=6y-26$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(6y-26\right)$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 6y-26.

$$x=-3y+13$$

Substitúe x por -3y+13 na outra ecuación, 5x+2y=13.

$$5\left(-3y+13\right)+2y=13$$

Multiplica 5 por -3y+13.

$$-15y+65+2y=13$$

Suma -15y a 2y.

$$-13y+65=13$$

Resta 65 en ambos lados da ecuación.

$$-13y=-52$$

Divide ambos lados entre -13.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x=-3y+13. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-3\times 4+13$$

Multiplica -3 por 4.

$$x=-12+13$$

Suma 13 a -12.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-2x-6y=-26,5x+2y=13$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2\times 2-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{-6}{-2\times 2-\left(-6\times 5\right)}\\-\frac{5}{-2\times 2-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{2}{-2\times 2-\left(-6\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{26}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-26\right)+\frac{3}{13}\times 13\\-\frac{5}{26}\left(-26\right)-\frac{1}{13}\times 13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-2x-6y=-26,5x+2y=13$$

Para que -2x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por -2.

$$5\left(-2\right)x+5\left(-6\right)y=5\left(-26\right),-2\times 5x-2\times 2y=-2\times 13$$

Simplifica.

$$-10x-30y=-130,-10x-4y=-26$$

Resta -10x-4y=-26 de -10x-30y=-130 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-10x+10x-30y+4y=-130+26$$

Suma -10x a 10x. -10x e 10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-30y+4y=-130+26$$

Suma -30y a 4y.

$$-26y=-130+26$$

Suma -130 a 26.

$$-26y=-104$$

Divide ambos lados entre -26.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en 5x+2y=13. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x+2\times 4=13$$

Multiplica 2 por 4.

$$5x+8=13$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$5x=5$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=4$$