Resolver {l}{-2x-2y=4}{y=-x/5+2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x - 2 y = 4 } \\ { y = - \frac { x } { 5 } + 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-5$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir \frac{x}{5} en ambos lados.

$$y+\frac{x}{5}=2$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 5.

$$5y+x=10$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-2x-2y=4,x+5y=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-2x-2y=4$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$-2x=2y+4$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(2y+4\right)$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 4+2y.

$$x=-y-2$$

Substitúe x por -y-2 na outra ecuación, x+5y=10.

$$-y-2+5y=10$$

Suma -y a 5y.

$$4y-2=10$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$4y=12$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=-y-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-3-2$$

Suma -2 a -3.

$$x=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir \frac{x}{5} en ambos lados.

$$y+\frac{x}{5}=2$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 5.

$$5y+x=10$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-2x-2y=4,x+5y=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-2\times 5-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-2\times 5-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-2\times 5-\left(-2\right)}&-\frac{2}{-2\times 5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}\times 4-\frac{1}{4}\times 10\\\frac{1}{8}\times 4+\frac{1}{4}\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-5,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir \frac{x}{5} en ambos lados.

$$y+\frac{x}{5}=2$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 5.

$$5y+x=10$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-2x-2y=4,x+5y=10$$

Para que -2x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por -2.

$$-2x-2y=4,-2x-2\times 5y=-2\times 10$$

Simplifica.

$$-2x-2y=4,-2x-10y=-20$$

Resta -2x-10y=-20 de -2x-2y=4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x-2y+10y=4+20$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2y+10y=4+20$$

Suma -2y a 10y.

$$8y=4+20$$

Suma 4 a 20.

$$8y=24$$

Divide ambos lados entre 8.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x+5y=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+5\times 3=10$$

Multiplica 5 por 3.

$$x+15=10$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$x=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=3$$