Resolver {l}{-2x+y=-1}{4x-y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + y = - 1 } \\ { 4 x - y = - 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-2$$

$$y=-5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-2x+y=-1,4x-y=-3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-2x+y=-1$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$-2x=-y-1$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-y-1\right)$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -y-1.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Substitúe x por \frac{1+y}{2} na outra ecuación, 4x-y=-3.

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)-y=-3$$

Multiplica 4 por \frac{1+y}{2}.

$$2y+2-y=-3$$

Suma 2y a -y.

$$y+2=-3$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$y=-5$$

Substitúe y por -5 en x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{1}{2}$$

Multiplica \frac{1}{2} por -5.

$$x=\frac{-5+1}{2}$$

Suma \frac{1}{2} a -\frac{5}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=-5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-2x+y=-1,4x-y=-3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{-2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{-2\left(-1\right)-4}&-\frac{2}{-2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\left(-3\right)\\2\left(-1\right)-3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2,y=-5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-2x+y=-1,4x-y=-3$$

Para que -2x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por -2.

$$4\left(-2\right)x+4y=4\left(-1\right),-2\times 4x-2\left(-1\right)y=-2\left(-3\right)$$

Simplifica.

$$-8x+4y=-4,-8x+2y=6$$

Resta -8x+2y=6 de -8x+4y=-4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-8x+8x+4y-2y=-4-6$$

Suma -8x a 8x. -8x e 8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y-2y=-4-6$$

Suma 4y a -2y.

$$2y=-4-6$$

Suma -4 a -6.

$$2y=-10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=-5$$

Substitúe y por -5 en 4x-y=-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x-\left(-5\right)=-3$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$4x=-8$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=-5$$