Resolver {l}{-2x+7y=4}{-4x+3y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 7 y = 4 } \\ { - 4 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{1}{11}\approx -0.090909091$$

$$y=\frac{6}{11}\approx 0.545454545$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-2x+7y=4$$

Resta 7y en ambos lados da ecuación.

$$-2x=-7y+4$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-7y+4\right)$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -7y+4.

$$x=\frac{7}{2}y-2$$

Substitúe x por \frac{7y}{2}-2 na outra ecuación, -4x+3y=2.

$$-4\left(\frac{7}{2}y-2\right)+3y=2$$

Multiplica -4 por \frac{7y}{2}-2.

$$-14y+8+3y=2$$

Suma -14y a 3y.

$$-11y+8=2$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$-11y=-6$$

Divide ambos lados entre -11.

$$y=\frac{6}{11}$$

Substitúe y por \frac{6}{11} en x=\frac{7}{2}y-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{7}{2}\times \frac{6}{11}-2$$

Multiplica \frac{7}{2} por \frac{6}{11} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{21}{11}-2$$

Suma -2 a \frac{21}{11}.

$$x=-\frac{1}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{7}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{2}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&-\frac{7}{22}\\\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 4-\frac{7}{22}\times 2\\\frac{2}{11}\times 4-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\\\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

Para que -2x e -4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -4 e todos os termos a cada lado da segunda por -2.

$$-4\left(-2\right)x-4\times 7y=-4\times 4,-2\left(-4\right)x-2\times 3y=-2\times 2$$

Simplifica.

$$8x-28y=-16,8x-6y=-4$$

Resta 8x-6y=-4 de 8x-28y=-16 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-8x-28y+6y=-16+4$$

Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-28y+6y=-16+4$$

Suma -28y a 6y.

$$-22y=-16+4$$

Suma -16 a 4.

$$-22y=-12$$

Divide ambos lados entre -22.

$$y=\frac{6}{11}$$

Substitúe y por \frac{6}{11} en -4x+3y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-4x+3\times \frac{6}{11}=2$$

Multiplica 3 por \frac{6}{11}.

$$-4x+\frac{18}{11}=2$$

Resta \frac{18}{11} en ambos lados da ecuación.

$$-4x=\frac{4}{11}$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=-\frac{1}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$