Resolver {l}{-2x+4y=14}{x-4y=-7}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 4 y = 14 } \\ { x - 4 y = - 7 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-7$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-2x+4y=14,x-4y=-7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-2x+4y=14$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$-2x=-4y+14$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4y+14\right)$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -4y+14.

$$x=2y-7$$

Substitúe x por 2y-7 na outra ecuación, x-4y=-7.

$$2y-7-4y=-7$$

Suma 2y a -4y.

$$-2y-7=-7$$

Suma 7 en ambos lados da ecuación.

$$-2y=0$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=2y-7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-7,y=0$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-2x+4y=14,x-4y=-7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-2\left(-4\right)-4}&-\frac{4}{-2\left(-4\right)-4}\\-\frac{1}{-2\left(-4\right)-4}&-\frac{2}{-2\left(-4\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14-\left(-7\right)\\-\frac{1}{4}\times 14-\frac{1}{2}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-7,y=0$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-2x+4y=14,x-4y=-7$$

Para que -2x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por -2.

$$-2x+4y=14,-2x-2\left(-4\right)y=-2\left(-7\right)$$

Simplifica.

$$-2x+4y=14,-2x+8y=14$$

Resta -2x+8y=14 de -2x+4y=14 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x+4y-8y=14-14$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y-8y=14-14$$

Suma 4y a -8y.

$$-4y=14-14$$

Suma 14 a -14.

$$-4y=0$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x-4y=-7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-7,y=0$$