Resolver {l}{-15B-3A=-14}{-5A+B=7}

$$\left. \begin{array} { l } { - 15 B - 3 A = - 14 } \\ { - 5 A + B = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver B, A

$$B = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

$$A = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a B mediante o illamento de B no lado esquerdo do signo igual.

$$-15B-3A=-14$$

Suma 3A en ambos lados da ecuación.

$$-15B=3A-14$$

Divide ambos lados entre -15.

$$B=-\frac{1}{15}\left(3A-14\right)$$

Multiplica -\frac{1}{15} por 3A-14.

$$B=-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}$$

Substitúe B por -\frac{A}{5}+\frac{14}{15} na outra ecuación, B-5A=7.

$$-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}-5A=7$$

Suma -\frac{A}{5} a -5A.

$$-\frac{26}{5}A+\frac{14}{15}=7$$

Resta \frac{14}{15} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{26}{5}A=\frac{91}{15}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{26}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$A=-\frac{7}{6}$$

Substitúe A por -\frac{7}{6} en B=-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar B directamente.

$$B=-\frac{1}{5}\left(-\frac{7}{6}\right)+\frac{14}{15}$$

Multiplica -\frac{1}{5} por -\frac{7}{6} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$B=\frac{7}{30}+\frac{14}{15}$$

Suma \frac{14}{15} a \frac{7}{30} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$B=\frac{7}{6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&\frac{1}{26}\\-\frac{1}{78}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\left(-14\right)+\frac{1}{26}\times 7\\-\frac{1}{78}\left(-14\right)-\frac{5}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{6}\\-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz B e A.

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

Para que -15B e B sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por -15.

$$-15B-3A=-14,-15B-15\left(-5\right)A=-15\times 7$$

Simplifica.

$$-15B-3A=-14,-15B+75A=-105$$

Resta -15B+75A=-105 de -15B-3A=-14 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-15B+15B-3A-75A=-14+105$$

Suma -15B a 15B. -15B e 15B anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3A-75A=-14+105$$

Suma -3A a -75A.

$$-78A=-14+105$$

Suma -14 a 105.

$$-78A=91$$

Divide ambos lados entre -78.

$$A=-\frac{7}{6}$$

Substitúe A por -\frac{7}{6} en B-5A=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar B directamente.

$$B-5\left(-\frac{7}{6}\right)=7$$

Multiplica -5 por -\frac{7}{6}.

$$B+\frac{35}{6}=7$$

Resta \frac{35}{6} en ambos lados da ecuación.

$$B=\frac{7}{6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$